B E S E N

(C) 2016 Christoph-Simon Senjak, UXUL.DE

Herr Schmidt läuft auf der Straße entlang. Er greift sich plötzlich stöhnend an die Brust und fällt hin.

Ein Krankenwagen erscheint nach einiger Zeit. Zwei Sanitäter, Annegret und Brunhilde, steigen aus.

Annegret: "Diese Handschuhe sind mir fast ein bisschen zu eng."

Brunhilde: "Die Größe ist aber die Gleiche."

Annegret geht zu Herrn Schmidt, während Brunhilde in ihrer Tasche etwas sucht.

Annegret: "Guten Tag. Mein Name ist Annegreth Holzinger, und das ist meine Kollegin Brunhilde von Unterkalking Freifrau von und zu Wohlfartsoberkacheln. Ich bin Notfallsanitäter. Wer sind Sie?"

Herr Schmidt stöhnt nur, und kann offenbar nicht reden. Annegret greift Herrn Schmidt in die Hosentasche. Brunhilde leuchtet ihm mit einer Lampe in die Augen.

Annegret: "Ich werde mal schaun ob Sie einen Ausweis haben, nur dass wir wissen wer Sie sind. Meine Kollegin wird Sie untersuchen. Und gleich kommt der Notarzt."

Brunhilde: "Können Sie mal den Mund aufmachen? Genau, und jetzt die Zunge hoch. Ok, das brennt jetzt ein bisschen und ist etwas kalt, nicht erschrecken."

Brunhilde nimmt eine Sprühflasche und sprüht Herrn Schmidt in den Mund.

Der Notarzt trifft ein. Er zieht sich Handschuhe an und geht dann zu Herrn Schmidt.

Notarzt: "Hallo, ich bin der Notarzt. Können Sie mich verstehen."

Herr Schmidt stammelt immer noch etwas, aber kann inzwischen reden.

Herr Schmidt: "Ja."

Notarzt: "Ok. Wissen Sie wer Sie sind?"

Herr Schmidt: "Jü… Jürgen Schmidt."

Annegret nickt.

Notarzt: "Ok, das stimmt. Ich hör Sie mal ab."

Der Notarzt nutzt einige Geräte um Herrn Schmidt zu untersuchen. Annegret zeigt auf das Datum auf dem Ausweis von Herrn Schmidt.

Notarzt: "Ah, ich sehe, wir haben ein Geburtstagskind."

Herr Schmidt: "Ja, ich wollte gerade auf eine Feier."

Notarzt: "Und? Was wünschen Sie sich denn?"

Herr Schmidt: "Ich würde gerne weiterleben."

Der Notarzt schaut sich einige seiner Messgeräte an. Anschließend läuft er zu seinem Auto und holt einen Besen und reicht ihn Herrn Schmidt.

Notarzt: "Hier. Für Sie. Zum Geburtstag."

Herr Schmidt schweigt und nimmt nur zögerlich den Besen.

Notarzt: "Gefällt er ihnen nicht?"

Herr Schmidt: "Doch. Danke. Ich weiß nur nicht …"

Notarzt (unterbricht): "Schaun Sie, von den Dingen hier ist das das was an Ihren Wunsch am nächsten rankommt."

Herr Schmidt: "Ach so. Ok. Dann vielen Dank."

Der Notarzt klatscht in die Hände.

Notarzt: "Gut. Ich muss dann auch weiter."

Die Sanitäter beginnen zu packen.

Herr Schmidt: "Ok."

Notarzt: "Schaun Sie, ich hab Ihnen so gut geholfen wie ich konnte, aber irgendwann ist dann auch mal gut, ich hab auch noch andere Patienten."

Herr Schmidt: "Ja, ich verstehe, Ihre Zeit ist begrenzt. Trotzdem danke."

Notarzt: "Bitte."

Der Notarzt steigt in sein Auto und fährt weg. Die Sanitäter sind fertig mit dem Packen des Krankenwagens und gehen ebenfalls weg. Herr Schmidt liegt alleine auf der Straße mit seinem Besen.

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Panel 1: Person with a turban holds something in his hand and says "I have your nose!" -- Panel 2: The person holds a bloody knife in his other hand and has just removed the nose of a woman in a burqa.

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Title text: "The British do a lot of things differently." -- Panel 1: A person switching gears in a british car is shown. Text: "They drive on the left side so they can keep their right hand at the steering wheel when switching gears." -- Panel 2: Pissoirs are shown. Text: "They use automatic interval flushing in memorial of Johann Georg Elser." -- Panel 3: A window which leaks smoke is shown. Text: "They do not use stovepipes because the windows are leaky anyway." -- Panel 4: A person climbing a brick wall is shown. Text: "They do not plaster their walls to make it easier to climb them and enter through the window when losing one's keys." -- Panel 5: A sink with two taps is shown. Text: "They have separate taps for hot and cold water to provide their guests refreshing cold water and hot tea at the same time." -- Panel 6: A shower with a geyser is shown. Text: "They use geysers in the showers so you will not accidentally slip in the dark and hurt yourself in the dark during a power outage while being wet, because you cannot take a shower when there is no electricity." -- Panel 7: A heptagonal coin is shown. Text: "They use heptagonal coins because the regular heptagon cannot be constructed with compass and straightedge, making it harder to forge."

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Panel 1: A person sits on his bed. There is a clock in the background that shows it is about 4:00. The person wears a suicide bomb belt which is connected to a smart phone which lies on his bet. The person looks angrily and says: "I am sick of this world. I am sick of people. Sick of them pretending to care." -- Panel 2: The person still sits on his bed and now holds his phone in the hand. The person says: "So I connected this bomb belt with my phone. As soon as anyone sends me a birthday wish, it will explode and end this misery! That will show them!" -- Panel 3: The person still looks angrily and sits on his bed. The clock in the background says it is about 5:05. -- Panel 4: The person still sits on his bed. He now looks disappointed. The clock says it is about 05:55. -- Panel 5: The person cries. The clock says it is about 8:47.

As I don't really know where else to publish this (mathoverflow etc do not seem to have a section for it), here comes a wrong construction of a field of characteristic 1. Still, it is wrong in a somewhat interesting way. Maybe as an exercise for an introductory lecture in mathematical logic or something.

So to make things easy, we work with ZFC. We could probably use weaker systems, but this would just make things harder to express.

Now, let \operatorname{ZFC} be the first-order theory of Zermelo-Fraenkel set theory, and let us assume that \operatorname{ZFC}\not\vdash\bot. We define first-order constants K, 0, 1, +, \cdot with the axioms

  • 0,1\in K
  • +,\cdot\subseteq K^{K^2}
  • (K,+,\cdot,0,1) is a field

Now define 0.a := 0 and (n+1).a := n.a + n, where the first addition is ordinal addition, and the second addition is addition in the field K. Essentially, this defines that n.a means adding a\in K for n times. This is a simple recursive definition, so it is justified according to the recursion theorem. We add the axiom

  • \exists_{0<\alpha<\omega}\forall_{a\in K} \alpha.a = 0 (K has finite characteristic \neq 0)

let us call the resulting theory \operatorname{ZFC}_K. Obviously, \operatorname{ZFC}_K\not\vdash\bot. Now define the axioms A_n := \underbrace{1+\ldots+1}_{n\times}\neq 0, and A :=
\{A_{n+2}\mid n\in \mathbb{N}_0\}, and consider \operatorname{ZFC}_K \cup A.

Every finite subset of \operatorname{ZFC}_K \cup A is satisfiable, because there are fields of arbitrarily large characteristic. Hence, because of the compactness theorem, \operatorname{ZFC}_K \cup A \not\vdash \bot, and hence, there is a model M \models \operatorname{ZFC} with a constant K such that

  • K is a field
  • K has finite characteristic
  • \operatorname{char} K\neq n for all n\in\mathbb{N}_0\backslash\{1\}.

We can "lift" K out of its model M, by setting \overline{K} := \{k\in M\mid M\models k\in K\}, similar for the other constants.

Now comes the exercise: Why is \overline{K} not a field of characteristic 1?

I could actually imagine that, though the actual characteristic of \overline{K} should be 0 (if I am correct), this thing has some properties that one wants from fields with characteristic 1, so it might be interesting to look at (but if it is, there certainly are people who already do this).